Бюро Свободной Науки

Фрактальные структуры являются не просто математической абстракцией, они присущи многим явлениям в природе. Такое понимание стало важным достижением науки второй половины ХХ столетия. Учебное пособие знакомит читателя с начальными сведениями о фракталах и возможностью применения идеи фрактальности в изучении природных явлений.

Фракталы: от удивления к рабочему инструменту : учебное пособие / В. Т. Гринченко, В. Т. Мацыпура, А. А. Снарский. – Киев : Наукова думка, 2013. – 270 с.

Предисловие............................................................... 3

Лекция 1
Понятие фрактала......................................................... 9

1.1. "Фрактальная геометрия природы"....................... 9

1.2. Длина береговой линии....................................... 15

1.3. Примеры фрактальных функций........................ 22

1.4. Вычислительные алгоритмы оценки
фрактальной размерности линий............................... 25

1.5. Контрольные вопросы к первой лекции.............. 31

Лекция 2
Фрактальные размерности множеств........................ 32

2.1. Понятие размерности множеств......................... 32

2.2. Фрактальные размерности.................................. 35

2.3. Фрактал как самоподобный объект..................... 44

2.4. Контрольные вопросы ко второй лекции............. 50

Лекция 3
Примеры самоподобных фрактальных множеств.... 52

3.1. Множество Кантора............................................ 52

3.2. Снежинка Коха................................................... 57

3.3. Салфетка Серпинского........................................ 58

3.4. Губка Менгера..................................................... 62

3.5. Еще одно определение фрактала......................... 64

3.6. Кривые Пеано..................................................... 66

3.7. Контрольные вопросы к третьей лекции............. 69

Лекция 4
Система итерированных функций
как метод построения фрактальных структур......... 73

4.1. Итерационная аппроксимация
фрактальных множеств............................................. 73

4.2. Детерминированный алгоритм........................... 76

4.3. Метод случайных итераций................................ 81

4.4. Расширение возможностей................................. 88

4.5. Контрольные вопросы к четвертой лекции......... 95

Лекция 5
Мультифракталы......................................................... 98

5.1. Пример мультифрактала
на основе салфетки Серпинского............................... 98

5.2. Гельдеровская регулярность функции............... 100

5.3. Мультифрактальный спектр меры.................... 104

5.4. Функция Реньи................................................. 115

5.5. Некоторые свойства
характеристик мультифракталов............................. 118

5.6. Контрольные вопросы к пятой лекции.............. 128

Лекция 6
Нелинейные комплексные отображения................. 129

6.1. Неподвижные точки. Циклы............................. 130

6.2. Определение множеств
Жюлиа и Мандельброта............................................ 133

6.3. Квадратичное комплексное отображение.......... 135

6.4. Свойства множества Жюлиа
квадратичного отображения.................................... 140

6.5. Два алгоритма построения множества Жюлиа.. 142

6.6. Множество Мандельброта
и сопутствующие ему множества Жюлиа................. 145

6.7. Контрольные вопросы к шестой лекции............ 163

Лекция 7
Итерации Ньютона.................................................... 164

Контрольные вопросы к седьмой лекции................. 174

Лекция 8
Некоторые сведения
из теории случайных процессов............................... 176

8.1. Вероятность...................................................... 176

8.2. Случайные величины........................................ 177

8.3. Нормальный закон распределения.................... 178

8.4. Числовые характеристики случайных величин.. 180

8.5. Случайные процессы......................................... 182

8.6. Стационарность и эргодичность
случайных процессов............................................... 185

8.7. Энергетический спектр случайного процесса.... 187

8.8. Контрольные вопросы к восьмой лекции........... 191

Лекция 9
Броуновское движение.............................................. 192

9.1. Моделирование случайных процессов
с фрактальными свойствами................................... 192

9.2. Простая модель броуновского движения........... 193

9.3. Броуновский сигнал.......................................... 198

9.4. Обобщенный броуновский сигнал...................... 205

9.5. Контрольные вопросы к девятой лекции........... 208

Лекция 10
Алгоритмы построения фрактальных сигналов...... 209

10.1. Алгоритм срединного смещения...................... 209

10.2. Метод Фурье-фильтрации................................ 213

10.3. Функция Вейерштрасса-Мандельброта............ 218

10.4. Контрольные вопросы к десятой лекции......... 220

Лекция 11
Фрактальный и мультифрактальный
анализ сигналов......................................................... 221

11.1. Что дает фрактальный анализ сигналов........... 221

11.2. Метод нормированного размаха...................... 222

11.3. Метод бестрендового
флуктуационного анализа........................................ 229

11.4. Мультифрактальный анализ сигналов.............. 235

11.5. Тестирование метода MF-DFA......................... 243

11.6. Мультифрактальный анализ
шума дыхания человека.......................................... 251

11.7. Контрольные вопросы
к одиннадцатой лекции........................................... 261

Список литературы............................................... 263

Присоединееные файлы - Лекция 1.