Фрактальные структуры являются не просто математической абстракцией, они присущи многим явлениям в природе. Такое понимание стало важным достижением науки второй половины ХХ столетия. Учебное пособие знакомит читателя с начальными сведениями о фракталах и возможностью применения идеи фрактальности в изучении природных явлений.
Фракталы: от удивления к рабочему инструменту : учебное пособие / В. Т. Гринченко, В. Т. Мацыпура, А. А. Снарский. – Киев : Наукова думка, 2013. – 270 с.
СОДЕРЖАНИЕ |
Предисловие............................................................... 3
Лекция 1
Понятие фрактала......................................................... 9
1.1. "Фрактальная геометрия природы"....................... 9
1.2. Длина береговой линии....................................... 15
1.3. Примеры фрактальных функций........................ 22
1.4. Вычислительные алгоритмы оценки
фрактальной размерности линий............................... 25
1.5. Контрольные вопросы к первой лекции.............. 31
Лекция 2
Фрактальные размерности множеств........................ 32
2.1. Понятие размерности множеств......................... 32
2.2. Фрактальные размерности.................................. 35
2.3. Фрактал как самоподобный объект..................... 44
2.4. Контрольные вопросы ко второй лекции............. 50
Лекция 3
Примеры самоподобных фрактальных множеств.... 52
3.1. Множество Кантора............................................ 52
3.2. Снежинка Коха................................................... 57
3.3. Салфетка Серпинского........................................ 58
3.4. Губка Менгера..................................................... 62
3.5. Еще одно определение фрактала......................... 64
3.6. Кривые Пеано..................................................... 66
3.7. Контрольные вопросы к третьей лекции............. 69
Лекция 4
Система итерированных функций
как метод построения фрактальных структур......... 73
4.1. Итерационная аппроксимация
фрактальных множеств............................................. 73
4.2. Детерминированный алгоритм........................... 76
4.3. Метод случайных итераций................................ 81
4.4. Расширение возможностей................................. 88
4.5. Контрольные вопросы к четвертой лекции......... 95
Лекция 5
Мультифракталы......................................................... 98
5.1. Пример мультифрактала
на основе салфетки Серпинского............................... 98
5.2. Гельдеровская регулярность функции............... 100
5.3. Мультифрактальный спектр меры.................... 104
5.4. Функция Реньи................................................. 115
5.5. Некоторые свойства
характеристик мультифракталов............................. 118
5.6. Контрольные вопросы к пятой лекции.............. 128
Лекция 6
Нелинейные комплексные отображения................. 129
6.1. Неподвижные точки. Циклы............................. 130
6.2. Определение множеств
Жюлиа и Мандельброта............................................ 133
6.3. Квадратичное комплексное отображение.......... 135
6.4. Свойства множества Жюлиа
квадратичного отображения.................................... 140
6.5. Два алгоритма построения множества Жюлиа.. 142
6.6. Множество Мандельброта
и сопутствующие ему множества Жюлиа................. 145
6.7. Контрольные вопросы к шестой лекции............ 163
Лекция 7
Итерации Ньютона.................................................... 164
Контрольные вопросы к седьмой лекции................. 174
Лекция 8
Некоторые сведения
из теории случайных процессов............................... 176
8.1. Вероятность...................................................... 176
8.2. Случайные величины........................................ 177
8.3. Нормальный закон распределения.................... 178
8.4. Числовые характеристики случайных величин.. 180
8.5. Случайные процессы......................................... 182
8.6. Стационарность и эргодичность
случайных процессов............................................... 185
8.7. Энергетический спектр случайного процесса.... 187
8.8. Контрольные вопросы к восьмой лекции........... 191
Лекция 9
Броуновское движение.............................................. 192
9.1. Моделирование случайных процессов
с фрактальными свойствами................................... 192
9.2. Простая модель броуновского движения........... 193
9.3. Броуновский сигнал.......................................... 198
9.4. Обобщенный броуновский сигнал...................... 205
9.5. Контрольные вопросы к девятой лекции........... 208
Лекция 10
Алгоритмы построения фрактальных сигналов...... 209
10.1. Алгоритм срединного смещения...................... 209
10.2. Метод Фурье-фильтрации................................ 213
10.3. Функция Вейерштрасса-Мандельброта............ 218
10.4. Контрольные вопросы к десятой лекции......... 220
Лекция 11
Фрактальный и мультифрактальный
анализ сигналов......................................................... 221
11.1. Что дает фрактальный анализ сигналов........... 221
11.2. Метод нормированного размаха...................... 222
11.3. Метод бестрендового
флуктуационного анализа........................................ 229
11.4. Мультифрактальный анализ сигналов.............. 235
11.5. Тестирование метода MF-DFA......................... 243
11.6. Мультифрактальный анализ
шума дыхания человека.......................................... 251
11.7. Контрольные вопросы
к одиннадцатой лекции........................................... 261
Список литературы............................................... 263
Присоединееные файлы - Лекция 1.
Вложение | Размер |
---|---|
l_1_n.pdf | 1.66 МБ |
cover-big.jpg | 3.35 МБ |